הביטוי 7 בחזקת n פחות 1 מתחלק ב־6אינדוקציה 571 · שיעור 11

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 11: הביטוי 7 בחזקת n פחות 1 מתחלק ב־6

פרק 3 – התחלקות

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי 7ⁿ − 1 מתחלק ב־6 ללא שארית.

הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

7¹ − 1 = 6 = 6 · 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

7^k − 1 = 6m

כאשר m שלם. מכאן:

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

כאשר m שלם. מכאן:

7^k = 6m + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי 7^{k + 1} − 1 מתחלק ב־6.

נפרק את החזקה:

📐 חוקי חזקות

7^{k + 1} − 1 = 7 · 7^k − 1

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 חוקי חזקות

a^{k + 1} = a · a^k

📐 הנחת האינדוקציה

7^k = 6m + 1

הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 7(6m + 1) − 1

= 42m + 7 − 1 = 42m + 6

= 6(7m + 1) ✓

7m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־6.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

7^k = 6m + 1

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא